Назарій Яремчук народився в селянській родині Назарія та Марії Яремчуків. Мав братів Степана, Богдана та сестру Катерину. Свою четверту дитину батьки назвали Назарієм (це ім'я означає «присвячений Богові»). Він народився коли батьку вже було 64-роки.
Сама родина була музичною: у батька був тенор, він співав у церковному хорі; мати, крім співів, грала на мандоліні і виступала в місцевому народному театрі. Ще маленьким хлопчиком Назарій також почав співати.

В дванадцять років Назарій пережив перший тяжкий удар — помер батько. Мати була вимушена віддати сина до Вижницької школи-інтернату. До навчання ставився добросовісно, займався у гуртках, надаючи перевагу хоровому. Після закінчення восьми класів у школі-інтернаті Назарій продовжив навчання у Вижницькій середній школі № 1, яку закінчив у 1969 році.

Назарій закохується в солістку «Смерічки» Олену Шевченко, цього ж року вони одружуються. Первістка назвали Дмитром, а згодом народився Назарій. Та цей шлюб не приніс йому щастя і Яремчук розлучився. Хлопчики стали жити в бабусі й дідуся в Межигір'ї. Олена вийшла заміж вдруге, переїхала в Київ, а Назарій довго не міг знайти собі пару.

Коли трагічно загинув Володимир Івасюк, — Назарій був одним із перших, хто незважаючи на заборону влади, приїхав на похорон до Львова. Тоді це могло коштувати всього: кар'єри, спокою, репутації. Траурна колона починалась з великого вінка з білих квітів, який Яремчук ніс із Левком Дутковським. Це було дуже небезпечним в той час, та Володимир був їхнім великим другом, і наслідки їх не цікавили.

Другу дружину, Дарину, Назарій знайшов у селі Тюдів. Вони були сусідами, жили поруч, але особисто знайомі не були. Коли зустрілися, Назарій давно був розлучений, а Дарина вже чотири роки сама виховувала дочку після смерті чоловіка.

У 1991–1993 роках їздив з концертами за кородон, зокрема в Канаду, США, Бразилію. За кордоном відбулася довгоочікувана зустріч із братом, про якого мало хто знав — це була сімейна таємниця, яку протягом десятиліть воліли не розголошувати. В батька Назарія був син від першого шлюбу — Дмитро, юрист за фахом, на 27 років старший майбутнього співака. В 40-х роках, коли на Буковині діяли різні націоналістичні угрупування, Дмитро пристав до ОУН мельниківців. Радянську владу він не прийняв і виїхав під чужим прізвищем у Канаду. Згодом, вставши на ноги, допомагав родичам, тому що знав, як важко живеться родині. Брати зустрілися через багато років, коли Назарій став відомим співаком і гастролював за кордоном. Знамениту пісню «Лелека з України» він присвятив Дмитру й всім українським емігрантам.

2 березня 1993 року у Яремчуків народилася дівчинка, що назвали на честь матері Назарія — Марічкою. Старші діти відразу полюбили дитину і гралися з нею. А Назарій на гастролі брав із собою маленьку подушечку дочки, що вважав своїм талісманом. Але раптом Назарій дізнався, що хворий на рак.
У 1995 році друзі Назарія допомогли йому виїхати в Канаду, сподіваючись, що західна медицина зможе допомогти. Але операцію зробили занадто пізно, і вона не допомогла. Та навіть важко хворим Яремчук продовжував виступати. Після повернення з закордону Назарій з'явився на вечорі Юрія Рибчинського, і всі відзначили, як він схуд.
30 червня 1995 року після довготривалої хвороби Назарій Яремчук помер у Чернівцях. Співця поховали на центральному кладовищі Чернівців.